Matematyka
buziak1230
2017-06-22 02:25:59
Trygonometria. Uzasadnij, że dla dowolnego kąta ostrego [latex] alpha [/latex] zachodzi nierówność: [latex]sin^{3} alpha + cos^{3} alpha extless 1[/latex]
Odpowiedź
GoNa
2017-06-22 04:22:47

Można pokazać dużo więcej. Dla każdego naturalnego [latex]n geq 2[/latex] zachodzi  [latex]$sin^nx+cos^nxleq1$[/latex] Dowód przez indukcję. Dla [latex]n=2[/latex] dostajemy natychmiast z jedynki trygonometrycznej [latex]1=1[/latex] zakładając że spełniona jest teza[latex]T(n)[/latex] badamy tezę [latex]T(n+1)[/latex]. Czyli pokazujemy że   [latex]$sin^{n+1}x+cos^{n+1}xleq1$[/latex] Jest to jednak oczywiste ponieważ  [latex] $sin xleq1Rightarrowsin^{n+1} xleqsin^{n}x$[/latex] [latex]$cos xleq1Rightarrowcos^{n+1} xleqcos^{n}x$[/latex] sumując stanami  [latex]$sin^{n+1}x+cos^{n+1}xleq sin^nx+cos^nx leq 1$[/latex] Przechodniość nierówności kończy dowód.

Dodaj swoją odpowiedź