Matematyka
surmik92
2017-06-23 16:28:19
Dana jest liczba pierwsza [latex]pge 3[/latex]. Niech [latex]W[/latex] będzie wielomianem stopnia 2 o współczynnikach całkowitych takim, że [latex]W(k)[/latex] jest podzielne przez [latex]p[/latex] dla każdej liczby całkowitej [latex]k[/latex]. Udowodnić, że każdy współczynnik [latex]W[/latex] jest podzielny przez [latex]p[/latex].
Odpowiedź
natalcia1314
2017-06-23 22:24:03

Niech [latex]W(x) = ax^2 + bx + c[/latex] niech [latex]kin Z[/latex] oraz [latex]p geq 3 wedge pin P[/latex] Mamy: [latex]W(k) = ak^2 +bk + c[/latex], zachodzi: [latex]p |(ak^2+bk+c)[/latex] Gdyby [latex]k[/latex] było postaci [latex]mp[/latex], gdzie [latex]m[/latex] jest pewna liczba calkowita, czyli [latex]k[/latex] podzielne przez [latex]p[/latex], mielibysmy: [latex]p|(am^2p^2+bmp + c) iff p|[p(apm^2+bm) + c][/latex] Czyli [latex]p|c[/latex] Już wykazałem, że wyraz wolny musi być podzielny przez [latex]p[/latex], zatem wielomian mozna zapisać w postaci: [latex]W(x) = ax^2+bx + np , gdzie nin Z[/latex] Wykazujemy dalej: [latex]p|(ak^2+bk + np)[/latex] [latex]p|(ak^2+bk)[/latex] W sytuacji, gdy [latex]k=1[/latex], mamy: [latex]p|(a+b)[/latex], czyli: [latex]a+b=sp,   gdzie   sin Z[/latex] w sytuacji, gdy [latex]k=-1[/latex], mamy: [latex]p|(a-b)[/latex] [latex]a-b = tp,   gdzie tin Z[/latex] Sumując, mamy: [latex]2a=p(s+t)[/latex] [latex]a=p*frac{s+t}{2}[/latex] Z racji, ze [latex]a[/latex] jest całkowite, prawa strona też musi byc całkowita. Biorąc pod uwagę, że [latex]p extgreater 2[/latex] , więc dzielnikiem [latex]p[/latex] nie może być 2. Zatem 2 musi być dzielnikiem wyrażenia [latex]s+t[/latex] Skoro [latex]a[/latex] jest podzielne przez [latex]p[/latex], to [latex]b[/latex] również musi być podzielne przez [latex]p[/latex], dokładnie zachodzi: [latex]p*frac{s+t}{2} + b =sp[/latex] [latex]b = frac{2sp-ps-pt}{2}[/latex] [latex]b=p*frac{s-t}{2}[/latex] Ostatecznie, mamy: [latex]W(x) = x^2pfrac{s-t}{2} + xpfrac{s+t}{2} + np[/latex]

Dodaj swoją odpowiedź