Matematyka
damiankoja
2017-06-23 23:59:19
Dla jakich wartości parametru a ∈ R pierwiastki równania [latex]x^2+ax+ frac{1}{a^2} [/latex] są sinusem i cosinusem tego samego kąta ostrego?
Odpowiedź
Wiktorciu1993
2017-06-24 00:40:22

Najważniejsze to [latex]a eq 0[/latex] warunek [latex](1)[/latex]. Poza tym.  Pierwiastki muszą istnieć więc od razu rozpatrzmy  [latex]$Delta geq 0$[/latex] Czyli [latex](2)[/latex] [latex]$Delta=a^2-frac{4}{a^2} geq 0$[/latex]  co jest równoważnie nierówności  [latex]a^4-4 geq 0[/latex] [latex](a^2+2)(a- sqrt{2})(a+ sqrt{2} ) geq 0[/latex] czyli [latex](2)[/latex] to  [latex]ain(-infty,- sqrt{2}]cup[ sqrt{2},infty)[/latex] Warunkiem [latex](3)[/latex] jest to by pierwiastki spełniały jedynkę trygonometryczną. Jest tak dlatego bo [latex]sin [/latex] i [latex]cos[/latex] spełniają jedynkę.  [latex]x_1^2+x_2^2=1[/latex]  Przekształci to trochę tak by można było zastosować wzoru Vieta.  [latex]$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=1$[/latex] czyli po zastosowaniu wzorów  [latex]$x_1^2+x_2^2=a^2-frac{2}{a^2}=1$[/latex] stąd łatwo policzyć że [latex]a= sqrt{2} [/latex] lub [latex]a=- sqrt{2} [/latex].  Więc rozwiązaniem zadania jest układ warunków  [latex]$(1)cap(2)cap(3)Rightarrow a=pmsqrt{2}$[/latex]

Dodaj swoją odpowiedź