Matematyka
czekoladka3232
2017-06-24 03:10:39
Niech [latex]c[/latex] będzie taką liczbą rzeczywistą, że wielomian [latex]W(x)=x^3 - 3x + c[/latex] ma trzy pierwiastki rzeczywiste [latex]x_1,x_2,x_3[/latex]. Wyznaczyć w zależności od [latex]c[/latex] sumę współczynników wielomianu [latex]Q(x)=(x-x_1^2)(x-x_2^2)(x-x_3^2)[/latex]. Polecam pomyśleć nad czymś ciekawszym niż ograniczać się do typowych sposobów :) Im "czystsze" rozwiązanie tym lepsze! :)
Odpowiedź
szafcia
2017-06-24 03:49:11

[latex]$W(x)=x^3-3x+c=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$[/latex] więc łatwo zauważać że  Suma współczynników jest równa [latex]Q(1)[/latex] więc zależność to  [latex]Q(1)=W(1)(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)=(c-2)(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)[/latex] [latex]=(c-2)(x_1x_2x_3+x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3+x_1+x_2+x_3+1)[/latex] A korzystając bezpośrednio z wzorów Vieta mamy  [latex]Q(1)=(c-2)(-c-3+1)=-(c^2-4)[/latex]

Dodaj swoją odpowiedź