Matematyka
Konto usunięte
2017-06-24 12:17:19
Rozwiąż rownanir wykladnicde
Odpowiedź
wojtek980
2017-06-24 17:40:29

[latex]\ dfrac{1}{2^x-2} +2^{1-x}=1 , 2^x eq 2implies x eq 1 \ \ dfrac{1}{2^x-2} + dfrac{2}{2^x} =1 , 2^x=t extgreater 0 \ \ dfrac{1}{t-2} + dfrac{2}{t} =1 /cdot t(t-2) \ \t+2(t-2)=t(t-2) \ \t+2t-4=t^2-2t \ \t^2-2t-3t+4=0 \ \t^2-5t+4=0 \ \t^2-t-4t+4=0 \ \t(t-1)-4(t-1)=0 \ \(t-1)(t-4)=0 \ \t=1 vee t=4 \ \2^x=2^0 vee 2^x=2^2 \ \x=0 vee x=2 \ \Odp. xin{0,2}.[/latex]

ania1225
2017-06-24 17:41:44

Na początku określimy dziedzinę: [latex]dfrac{1}{2^x-2}+2^{1-x}=1\\D:2^x-2 eq0Rightarrow2^x eq2Rightarrow2^x eq2^1Rightarrow x eq1\\D:xinmathbb{R}-{1}[/latex] Przechodzimy do rozwiązania równania: [latex]dfrac{1}{2^x-2}+2^{1-x}=1\\dfrac{1}{2^x-2}+2^1cdot2^{-x}=1[/latex] Korzystamy ze wzoru: [latex]a^{-n}=dfrac{1}{a} dla a eq0[/latex] [latex]dfrac{1}{2^x-2}+2cdotdfrac{1}{2^x}=1\\dfrac{1}{2^x-2}+dfrac{2}{2^x}=1\\dfrac{1cdot2^x+2left(2^x-2 ight)}{left(2^x-2 ight)cdot2^x}=1\\dfrac{2^x+2cdot2^x-4}{2^xcdot2^x-2cdot2^x}=1\\dfrac{3cdot2^x-4}{2^{2x}-2cdot2^{x}}=1[/latex] Ułamek jest równy 1, gdy licznik i mianownik są sobie równe, czyli: [latex]3cdot2^x-4=2^{2x}-2cdot2^{x}\\2^{2x}-2cdot2^x-3cdot2^x+4=0\\2^{2x}-5cdot2^x+4=0\\left(2^x ight)^2-5cdot2^x+4=0[/latex] Robimy podstawienie: [latex]t=2^x left t > 0 ight)[/latex] [latex]t^2-5t+4=0[/latex] Liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego: [latex]Delta=b^2-4ac\\t^2-5t+4=0 o a=1; b=-5; c=4[/latex] Podstawiamy: [latex]Delta=(-5)^2-4cdot1cdot4=25-16=9[/latex] Czas na pierwiastki równania: [latex]t_1=dfrac{-b-sqrt{Delta}}{2a}; t_2=dfrac{-b+sqrt{Delta}}{2a}[/latex] Podstawiamy: [latex]sqrt{Delta}=sqrt9=3\\t_1=dfrac{5-3}{2cdot1}=dfrac{2}{2}=1\\t_2=dfrac{5+3}{2cdot1}=dfrac{8}{2}=4[/latex] Wracamy do podstawienia: [latex]t=2^x\\2^{x_1}=1\\2^{x_1}=2^0Rightarrow x_1=0in D\\2^{x_2}=4\\2^{x_2}=2^2Rightarrow x_2=2in D[/latex] Rozwiązaniem równania są liczby 0 i 2.

Dodaj swoją odpowiedź