Matematyka
zania9610
2017-06-24 12:30:59
Sprawdź korzystając z definicji czy ciąg o wyrazie ogólnym an jest arytmetyczny. Jeżeli jest wyznacz jego pierwszy wyraz i różnicę r. 1. an = n(n-1) 2. an = 7^n 3. an = 3-5n/2 4. an = 9n^2-4/3n+2
Odpowiedź
maniek246
2017-06-24 13:57:48

Ciąg jest arytmetyczny jeżeli różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Ta stała jest tzw. różnicą tego ciągu (r) [latex]a_{n+1}-a_n=const.=r[/latex]. [latex]1.\a_n=n(n-1)\\a_{n+1}=(n+1)(n+1-1)=(n+1)n\\a_{n+1}-a_n=n(n+1)-n(n-1)=n[(n+1)-(n-1)]\\=n(n+1-n+1)=2n eq const.[/latex] Ciąg nie jest arytmetyczny. [latex]2.\a_n=7^n\\a_{n+1}=7^{n+1}\\a_{n+1}-a_n=7^{n+1}-7^n=7cdot7^n-7^n=7^n(7-1)=6cdot7^n eq const.[/latex] Ciąg nie jest arytmetyczny. [latex]3.\a_n=dfrac{3-5n}{2}\\a_{n+1}=dfrac{3-5(n+1)}{2}\\a_{n+1}-a_n=dfrac{3-5n-5}{2}-dfrac{3-5n}{2}=dfrac{-2-5n-(3-5n)}{2}\\=dfrac{-2-5n-3+5n}{2}=dfrac{-5}{2}=-2,5=const.[/latex] Jest to ciąg arytmetyczny. [latex]a_1=dfrac{3-5cdot1}{2}=dfrac{3-5}{2}=dfrac{-2}{2}=oxed{-1}\\r=oxed{-2,5}[/latex] [latex]4.\a_n=dfrac{9n^2-4}{3n+2}=dfrac{(3n)^2-2^2}{3n+2}=dfrac{(3n-2)(3n+2)}{3n+2}=3n-2\\a_{n+1}=3(n+1)-2\\a_{n+1}-a_n=3(n+1)-2-(3n-2)=3n+3-2-3n+2\\=3=cons.[/latex] Ciąg jest arytmetyczny. Jako, że mianownik nigdy nie jest zerowy, to skorzystałem ze wzoru skróconego mnożenia: [latex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/latex] i skróciłem ułamek. [latex]a_1=3cdot1-2=3-2=1\\r=3[/latex]

Dodaj swoją odpowiedź