Matematyka
1q2w3e
2017-06-24 13:18:49
Witam , proszę o rozwiazanie poniższych zdań 1 Korzystając z zasady indukcji matematycznej udowodnij następujące twierdzenia dotyczące liczb naturalnych : a) Dla każdego n∈N 1+3¹+3²+3³+....+3ⁿ=[latex] frac{3 ^{n+1}-1 }{2} [/latex] b) Dla każdego n∈N 1³+2³+3³+....+n³=(1+2+3+....+n)² c) Dla każdego n∈N [latex] frac{1}{2*5} + frac{1}{5*8} + frac{1}{8*11} +....+ frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = frac{n}{2(3n+2)} [/latex] 2 Wykaż , że : Dla każdego n∈N 6 | ([latex] 10^{n} -4 [/latex]) W razie nieścisłości : " 6 dzieli [latex] 10^{n} -4[/latex] "
Odpowiedź
natalisia
2017-06-24 19:09:17

W najprostszej formie indukcja korzysta z tego że pokazaliśmy prawdziwość  [latex]$Rightarrow$[/latex] między [latex]T(n) [/latex] i [latex]T(n+1)[/latex] a do tego wiemy że [latex]T(1)[/latex] jest prawdą. Wtedy zachodzi [latex]T(1)Rightarrow T(2)Rightarrow T(3)Rightarrow ...[/latex] jest prawdziwe więc ostatecznie [latex]T(n)[/latex] staje się prawdziwe. Jak by co to [latex]T(n)[/latex] oznacza tezę dla [latex]n[/latex]-tego wyrazu.  1.a indukcja nie jest tu konieczna a nawet wydaje się być ekscentrycznym rozwiązaniem bo przecież to jest suma ciągu geometrycznego no ale...  Więc sprawdzamy [latex]T(1)[/latex] czyli czy zachodzi   [latex]$1+3=frac{3^{1+1}-1}{2} $[/latex] no jak widać zachodzi więc zakładamy  prawdziwość [latex]T(n)[/latex] i pokazujemy że przy tym założeniu prawdą jest [latex]T(n+1)[/latex] że   [latex]$1+3+...+3^n+3^{n+1}= frac{3^{n+1+1}-1}{2} $[/latex]  ale ponieważ mamy [latex]T(n)[/latex] to zapisać można   [latex]$frac{3^{n+1}-1}{2}+3^{n+1}=frac{3^{n+1+1}-1}{2}$[/latex] a to jest już łatwe to pokazania bo wystarczy dodać ułamki. Więc  CND.  1.b Zaczynamy jak zawsze od [latex]n=1[/latex] wtedy widać że [latex]1^3=1^2[/latex] więc się zgadza. zakładamy teraz że wzór jest prawdziwy a pytamy się o  [latex]1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=(1+2+...+n+n+1)^2[/latex]  a to jest  [latex](1+2+...+n)^2+(n+1)^3=(1+2+...+n+n+1)^2[/latex] co zapisać można  [latex](1+2+...+n)^2+(n+1)^3= \ \ (1+2+...+n)^2+2(1+2+...+n)(n+1)+(n+1)^2[/latex] a to po uproszczeniu zapiszemy jako  [latex]$n frac{1+n}{2}=1+2+...+n $[/latex]  co jest już powszechnie znane (choć można udowodnić de facto indukcyjnie)więc CND  1.c  Jak zawsze [latex]n=1[/latex] wtedy mamy że [latex]$ frac{1}{10}= frac{1}{2(3+2)} $[/latex] potem zakładamy że jest ok dla [latex]n[/latex] a pytamy o   [latex]$ frac{1}{2cdot 5} +...+ frac{1}{(3n-1)(3n+2)} + frac{1}{(3n+2)(3n+5)} = frac{n+1}{2(3n+5)} $[/latex] czyli  [latex]$ frac{n}{2(3n+2)}+ frac{1}{(3n+2)(3n+5)}= frac{n+1}{2(3n+5)} $[/latex] a po dodaniu ułamków mamy że prawa= lewa więc CND.  2. sprawdzamy że [latex]$ frac{10-6}{6}=1 $[/latex] więc jest to prawdą dla [latex]n=1[/latex] zakładamy że zawsze istnieje takie naturalne [latex]k[/latex] że [latex]$ frac{10^n-4}{6}=k $[/latex] i pytamy się o  [latex]$ frac{10^{n+1}-4}{6}= frac{10cdot 10^n-4}{6}= frac{10cdot 10^n-40+36}{6}=10k+6inmathbb{N}$[/latex] CND 

Dodaj swoją odpowiedź