Matematyka
Zacna
2017-06-24 17:24:49
dane jest równanie okręgu x^2 + y^2 + ax + by + c = 0, gdzie a^2 + b^2 > 4c. wykaż, że środek okręgu ma wspołrzedne S (-a/2 , -b/2)., a dugosc promienia tego okregu można obliczyć, ze wzoru r^2 = a^2/4  + b^2/4 - c.
Odpowiedź
kasieńka15
2017-06-24 17:37:53

Rownanie okregu [latex](x-a)^2+(y-b)^2=c^2[/latex] (1) to rownanie na okrag ze srodkiem [latex](a,b)[/latex] oraz promieniem [latex]c[/latex]. Uzywajac (1) i danych napisz rownanie na okrag ze srodkiem [latex](-a/2,-b/2)[/latex] oraz promieniem [latex]sqrt{a^2/4+b^2/4-c}[/latex]. [latex](x+a/2)^2+(y+b/2)^2=a^2/4+b^2/4-c\x^2+ax+dfrac{a^2}{4}+y^2+ay+dfrac{b^2}{4}=dfrac{a^2}{4}+dfrac{b^2}{4}-c\x^2+ax+y^2+by+c=0\[/latex] Wiec [latex]x^2+y^2+ax+by+c=0[/latex] to rownanie okregu gdzie srodek to punkt [latex](-a/2, -b/2)[/latex] a promien to [latex]sqrt{a^2/4+b^2/4-c}[/latex]. Dla [latex]a^2+b^2>4c[/latex] mamy [latex]sqrt{a^2/4+b^2/4-c}>0[/latex] wiec promien wiekszy niz 0 (wiec mamy okrag), bo [latex]a^2/4+b^2/4-c=0\dfrac{1}{4}(a^2+b^2)=c\a^2+b^2=4c[/latex]

Karuś14
2017-06-24 17:39:08

Równanie okręgu: [latex]mathrm{x^2 + y^2 + ax + by + c = 0}[/latex] Przekształcamy: [latex]mathrm{x^2 + y^2 + ax + by + c = 0} \ \ mathrm{(x^2 +ax+ frac{a^2}{4} )+( y^2 + by + frac{b^2}{4}) - frac{a^2}{4}- frac{b^2}{4} + c = 0} \ \ mathrm{(x+ frac{a}{2} )^2+(y+ frac{b}{2} )^2= frac{a^2}{4} + frac{b^2}{4} - c }[/latex] Wiemy, że [latex]mathrm{a^2 + b^2 extgreater 4c}[/latex], czyli [latex]mathrm{a^2 + b^2 extgreater 4c } \ mathrm{a^2+b^2-4c extgreater 0 |:4}\ mathrm{ frac{a^2}{4}+ frac{b^2}{4} -c extgreater 0 }[/latex] ------------------------------------------------------------------------------- Przypomnienie:  Równanie okręgu to [latex]mathrm{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}[/latex], gdzie S(a,b) - środek okręgu, r - promień. ------------------------------------------------------------------------------- Zatem [latex]mathrm{S=(- frac{a}{2},- frac{b}{2} ), r^2= frac{a^2}{4} +frac{b^2}{4}-c}[/latex]. 

Dodaj swoją odpowiedź