Matematyka
AnDzIaaaaaaaaa
2017-06-24 22:04:59
Jak się bada monotoniczność takich ciągów? Proszę o rozwiązanie pełne chociaż jednego przykładu wraz z wyjaśnieniem.
Odpowiedź
jowicia
2017-06-25 00:33:15

[latex]a_n=cfrac{1}{1cdot2}+cfrac{1}{2cdot3}+ldots+cfrac{1}{n(n+1)}[/latex] [latex]a_{n+1}=cfrac{1}{1cdot2}+cfrac{1}{2cdot3}+ldots+cfrac{1}{n(n+1)}+cfrac{1}{(n+1)(n+2)}[/latex] [latex]a_{n+1}-a_n=cfrac{1}{(n+1)(n+2)}>0[/latex], bo n jest liczbą naturalną. Ciąg [latex](a_n)[/latex] jest rosnący. [latex]b_n=cfrac{3}{2}cdotcfrac{4}{3}cdotcfrac{5}{4}cdotldotscdotcfrac{n}{n-1}cdotcfrac{n+1}{n}=cfrac{n+1}{2}[/latex] [latex]b_{n+1}=cfrac{n+2}{2}[/latex] [latex]b_{n+1}-b_n=cfrac{n+2}{2}-cfrac{n+1}{2}=cfrac{n+2-n-1}{2}=cfrac{1}{2}>0[/latex] Ciąg [latex](b_n)[/latex] to rosnący ciąg arytmetyczny. [latex]c_n=cfrac{2}{3}cdotcfrac{5}{6}cdotcfrac{9}{10}cdotldotscdotcfrac{n(n+1)-2}{n(n+1)}[/latex] [latex]c_{n+1}=cfrac{2}{3}cdotcfrac{5}{6}cdotcfrac{9}{10}cdotldotscdotcfrac{n(n+1)-2}{n(n+1)}cdotcfrac{(n+1)(n+2)-2}{(n+1)(n+2)}[/latex] [latex]c_{n+1}-c_n=cfrac{2}{3}cdotcfrac{5}{6}cdotldotscdotcfrac{n(n+1)-2}{n(n+1)}left(cfrac{(n+1)(n+2)-2}{(n+1)(n+2)}-1 ight)<0[/latex] bo [latex]cfrac{(n+1)(n+2)-2-(n+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}=cfrac{-2}{(n+1)(n+2)}<0[/latex] Ciąg [latex](c_n)[/latex] jest malejący. [latex]d_n=cfrac{3}{4}cdotcfrac{8}{9}cdotldotscdotcfrac{n^2-1}{n^2}[/latex] [latex]d_{n+1}=cfrac{3}{4}cdotcfrac{8}{9}cdotldotscdotcfrac{n^2-1}{n^2}cdotcfrac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2}[/latex] [latex]d_{n+1}-d_n=cfrac{3}{4}cdotcfrac{8}{9}cdotldotscdotcfrac{n^2-1}{n^2}cdotleft(cfrac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2}-1 ight)<0[/latex] bo [latex]cfrac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2}-1=cfrac{(n+1)^2-1-(n+1)^2}{(n+1)^2}=cfrac{-1}{(n+1)^2}<0[/latex] Ciąg [latex](d_n)[/latex] jest malejący.

xXLandycandyXx
2017-06-25 00:34:30

wyliczasz a1 i a2 (tzn. za literę n podstawiamy 1 lub 2) jeśli a1>a2 ciąg malejący jeśli a1

Dodaj swoją odpowiedź