Matematyka
czarnyelf
2017-06-25 10:43:29
Czy ktos moze pomoc w obliczeniu granic ciągow: Lim n(pierwiastek z n^2 + 1 - n) Dziekuje pieknie
Odpowiedź
ewi110
2017-06-25 14:15:37

Ponieważ na forum nudy a zadania nikt nie chce rozwiązać to przedstawię swoje rozwiązanie które wyjątkowo nie będzie korzystać z bo bólu klepanego w tych zadaniach wzoru [latex]$a-b= frac{a^2-b^2}{a+b} $[/latex] Rozważmy funkcję [latex]f= sqrt{x} [/latex] na zbiorze  [latex]mathcal{D}=[n^2,n^2+1][/latex]. Zauważmy że współczynnik kierunkowy cięciwy rozpiętej na końcach dziedziny to  [latex]$ frac{ sqrt{n^2+1}-n}{n^2+1-n^2}=sqrt{n^2+1}-n$[/latex] Z wykresu funkcji wynika również że zawsze znajdzie się taki punkt [latex]xiinmathcal{D}[/latex] że współczynnik kierunkowy stycznej będzie równy współczynnikowi cięciwy. Innymi słowy zawsze istnieje styczna równoległa do cięciwy. wtedy zapisać można że :  [latex]$ sqrt{n^2+1}-n= frac{1}{2 sqrt{xi} } $[/latex] Jak już wcześniej wspomniałem [latex]xiinmathcal{D}[/latex] więc : [latex]n^2 leq xi leq n^2+1[/latex] Czyli równoważnie  [latex]$ frac{1}{2n} geq frac{1}{2 sqrt{xi} } geq frac{1}{2 sqrt{n^2+1} } $[/latex] A to pozwala zapisać :  [latex]$ frac{1}{2n}geqsqrt{n^2+1} -ngeqfrac{1}{2 sqrt{n^2+1}} Bigg|cdot n $[/latex] A stąd wynika taka nierówność :  [latex]$ frac{n}{2 sqrt{n^2+1} } leq n(sqrt{n^2+1} -n) leq frac{1}{2} $[/latex] A ponieważ skrajne strony dążą do tej samej granicy to na mocy tw o 3 ciągach  [latex]$ lim_{n o infty}n( sqrt{n^2+1} -n)= frac{1}{2} $[/latex]

Dodaj swoją odpowiedź