Matematyka
pawlito123456
2017-06-25 16:59:19
Rozwiąż równanie [latex]left[ frac{1}{2} ight]^{log_{ frac{1}{2} }^2(sinx)} + (sinx)^{log_{ frac{1}{2}}sinx } =1[/latex] Matura z matematyki 1994 rok.
Odpowiedź
potwor123
2017-06-25 21:30:12

Oznaczymy że [latex]sin x=a[/latex]  Przydatny fakt [latex]$lg_{a^{b}}c= frac{1}{b}lg_{a}c $[/latex] Lemat :  [latex]$a^{lg_{ frac{1}{2} }a}=a^{-lg_2a}=2^{-lg^2_2a}$[/latex] Przy czym dowód lematu jest bezpośrednią definicją logarytmu.  Więc równanie można zapisać  [latex]$2^{-lg_2^2a}+a^{-lg_2^2a}=1$[/latex] Co po uwzględnianiu lematu da  [latex]$2^{-lg_2^2a}+2^{-lg_2^2a}=1$[/latex] Z tego prosty wniosek o  [latex]2^{-lg_2^2a}=2^{-1}[/latex]  A na mocy różnowartościowi funkcji wykładniczych mamy (po uproszczeniu minusa) [latex]$lg_2^2a=1$[/latex]  A to dla bezpieczeństwa zapisze :  [latex]$left(lg_2a-1 ight)left(lg_2a+1 ight)=0$[/latex] Co w połączeniu z definicją logarytmu daje 2 możliwości z czego jedną odrzucimy  [latex]a=2[/latex]  [latex]$a= frac{1}{2}$[/latex] Pamiętając że [latex]a=sin x[/latex] zostaje rozwiązać  [latex]$sin x= frac{1}{2}$[/latex]  czyli  [latex]$x= frac{pi}{6}+2k pi [/latex]  [latex]$x= frac{5pi}{6}+2k pi$[/latex] Pamiętając o dziedzinie [latex]sin x extgreater 0[/latex]  dostajemy 2 serie rozwiązań  [latex]$x= frac{pi}{6}+2k pi [/latex]  [latex]$x= frac{5pi}{6}+2k pi$[/latex]

Dodaj swoją odpowiedź