Oznaczymy że [latex]sin x=a[/latex] Przydatny fakt [latex]$lg_{a^{b}}c= frac{1}{b}lg_{a}c $[/latex] Lemat : [latex]$a^{lg_{ frac{1}{2} }a}=a^{-lg_2a}=2^{-lg^2_2a}$[/latex] Przy czym dowód lematu jest bezpośrednią definicją logarytmu. Więc równanie można zapisać [latex]$2^{-lg_2^2a}+a^{-lg_2^2a}=1$[/latex] Co po uwzględnianiu lematu da [latex]$2^{-lg_2^2a}+2^{-lg_2^2a}=1$[/latex] Z tego prosty wniosek o [latex]2^{-lg_2^2a}=2^{-1}[/latex] A na mocy różnowartościowi funkcji wykładniczych mamy (po uproszczeniu minusa) [latex]$lg_2^2a=1$[/latex] A to dla bezpieczeństwa zapisze : [latex]$left(lg_2a-1 ight)left(lg_2a+1 ight)=0$[/latex] Co w połączeniu z definicją logarytmu daje 2 możliwości z czego jedną odrzucimy [latex]a=2[/latex] [latex]$a= frac{1}{2}$[/latex] Pamiętając że [latex]a=sin x[/latex] zostaje rozwiązać [latex]$sin x= frac{1}{2}$[/latex] czyli [latex]$x= frac{pi}{6}+2k pi [/latex] [latex]$x= frac{5pi}{6}+2k pi$[/latex] Pamiętając o dziedzinie [latex]sin x extgreater 0[/latex] dostajemy 2 serie rozwiązań [latex]$x= frac{pi}{6}+2k pi [/latex] [latex]$x= frac{5pi}{6}+2k pi$[/latex]
Rozwiąż równanie
[latex]left[ frac{1}{2}
ight]^{log_{ frac{1}{2} }^2(sinx)} + (sinx)^{log_{ frac{1}{2}}sinx } =1[/latex]
Matura z matematyki 1994 rok.
Odpowiedź
2017-06-25 21:30:12
Dodaj swoją odpowiedź